Las ecuaciones de los planos observamos como una función se cambia de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y así se podría hallar la longitud del arco observamos como el modulo del desplazamiento con respecto al tiempo proporcional a la longitud del arco respecto al tiempo, la derivada de esta vector posición es el vector tangencial, también observamos la forma de como observar los vectores unitarios tangencial, binomial y normal luego deducimos ecuaciones entre las mas importantes la ecuación de Frenet Serre
Clases de curvatura
Curvatura de flexión: es el limite del desplazamiento angular sobre el desplazamiento de la longitud del arco cuando este tiende a cero así con esto se hallara K y después su radio de curvatura que es la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de la curva c con respecto a la longitud del arco
Curvatura de Torsión: La tensión nos indica el alargamiento o acercamiento de la curva al plano oscilador y se define como el limite cuando el desplazamiento de la longitud del arco tiende a 0 del desplazamiento angular sobre la derivada de la longitud del arco. se define como el limite del angulo girado por el vector binomial unitario al pasar de un punto al otro sobre la curva c.
Funciones de curvas variables
Vimos que las funciones tanto en R2 como en R3 siempre tiene la variable dependiente y la variable independiente, la gráfica en R2 sera una curva y la gráfica en R3 sera una superficie, en R4 solo lo podemos dejar expresado así como existe las funciones para el Rn igual con sus respectivas variables dependientes e independientes. Luego observamos vario ejemplos
Dominio de definición
El dominio de la función sera una parte o región del plano dependiendo de donde trabajemos tales quedos ciertos valores dicha función exista. el dominio de definición se analiza analíticamente, gráfica y descriptiva al aplicar esto en los ejercicios el que me pareció mas interesante fue un ejercicio que contenía dentro de la raíz un seno ese fue el análisis mas interesante dado que en la gráfica era de ciertos intervalos en los cuales la función existía
Gráficos y curvas de nivel
Si consideramos una función z = f ( x , y ) su gráfica sera el conjunto de ternas ( x , y , z ) que representadas en R3 generara una superficie que satisface la ecuación z = f ( x , y ) dentro del dominio de existencia. Una curva de nivel es una vista frontal de la figura es como si le dividiéramos en capas y eso las viéramos en el plano y luego observamos un par de ejercicios
Definición de curvas de nivel
Una curva de nivel es el conjunto donde todos los puntos del plano donde f ( x , y ) tiene un valor constante es decir f ( x , y ) 0 k
si z = T ( x , y ) es la temperatura de cada punto en la región del plano, las curvas de nivel corresponde a puntos de igual temperatura en este caso se denominan isotermas que quiere decir que la temperatura permanece constante a lo largo de esa curva
si z = P ( x , y ) es el potencial eléctrico de cada punto de una región del plano, las curvas de nivel corresponden a puntos de igual potencial eléctrico en este caso se denominan equipotenciales
Limite de funciones
El limite de una función parte de su dominio tales que exista para su entorno
para de mostrar que una función z = ( x , y ) no tiene limite es suficiente con demostrar que por dos caminos o trayectorias diferentes el vector del limite es diferente
Si por dos o mas caminos el valor del limite tiene el mismo valor se debe proceder a demostrar que el limite existe a partir de la definición o algún otro artificio.
Definición de limite
Sea una función decimos que para todo epsilon mayor que cero, existe un delta mayor que cero talque el valor absoluto de la función menos el valor del limite a sea menor que epsilon
Método de transformación a coordenadas polares
Solo sirve en funciones que contengan el x elevado al cuadrado mas y elevado al cuadrado luego a la función la cambiamos las variables le transformamos a coordenadas polares sea que y = rsen(), x = rcos() y () = arctan(y/x)
Continuidad de funciones
Sea f ( x , y ) = z una función de dos variables definida en un dominio D y sea ( Xo , Yo ) elemento de D se dice que f ( x , y ) es continua si se cumple
1.-exista f ( Xo , Yo )
2.- exista el limite de f ( x , y )
3.- limite de f ( x , y ) = f ( Xo , Yo )
Si f ( x , y ) es continua en ( Xo , Yo ), entonces se dice q f es continua en D
Si f ( x , y ) no cumple con la condición se puede concluir que f es discontinua y que puede ser evitable o inevitable
a) Discontinua evitable.- Si existe el limite de f ( x , y ) y no exista f ( Xo , Yo )
Si existe el limite de f ( x , y ) y si exista f ( Xo , Yo ) pero son diferentes
b) Discontinuidad inevitable.- Si existe el limite de f ( x , y )
Si f ( x , y ) presenta una discontinuidad evitable se debe redefinir la función
Algunas funciones fraccionarias presentan curvas de discontinuidad
Derivadas parciales
La derivada de f (x,y) en (Xo,Yo) tiene dos posibilidades
1.. Si consideramos f(X,Yo) es decir que la variable "x" cambie mientras y=Yo es decir permanece constante
2.- Si consideramos f(Xo,Y) es decir que la variable "y" cambie mientras x=Xo es decir permanece constante
Interpretación geométrica de las derivadas parciales
Proyección en el plano XOZ
Proyección en el plano YOZ
El valor de fx(Xo,Yo) es la pendiente de la recta tangente en el punto Po(Xo,Yo,f(Xo,Yo) a la curva f(X,Yo) que pasa por Po sobre la superficie z=f(x,y)
El valor de fy(Xo,Yo) es la pendiente de la recta tangente en el punto Po(Xo,Yo,f(Xo,Yo) a la curva f(Xo,Y) que pasa por Po sobre la superficie z=f(x,y)
Planos tangentes a las superficies
Si z=f(x,y) tiene derivadas parciales continuas sobre una region del plano XOY que contiene a (Xo,Yo).
Entonces el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto Po que contiene las rectas tangentes a las dos curvas
z=f(x,Yo) ; y=Yo curva x
z=f(Xo,y) ; x=Xo curva y
Tienen por ecuacion de su vector normal
Por tanto la ecuacion del plano tangente es
(X)(X-Xo)+(Y)(Y-Yo)-Z(Zo)=0
Interpretación física
Representa la razón de cambio de f(x,y) cuando "x" cambia manteniendo fija "y" o cuando "y" cambia manteniendo fija "x"
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