Primera Semana

 Función Implícita de dos variables

R² : F(x,y) = 0

i)             y = f(x)                                       ii) x = g(y)

y : variable dependiente              x : variable dependiente

x : variable independiente            y : variable independiente

Una función implícita representa geométricamente una CURVA en el plano.

F(x,y) = 0             Sistema de

G(x,y) = 0            funciones implícitas

Cada función representa una curva en el plano y su intersección genera un o más puntos

 

 

Función implícita de 3 variables

R³ : F(x,y,z) = 0

Geométricamente representa una SUPERFICIE en el espacio.

Caso particular 

F(x,y) = 0  Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OZ
G(x,y) = 0  Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OY
H(x,y) = 0  Superficie cilindrica de genetratriz paralela al eje OX

Rectas en el espacio

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano,  alineados con un punto P y con una dirección dada u .
Si P (x1,y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que luego es igual a u multiplicado por un escalar:







Ecuaciones de la recta 

Ecuación vectorial de la recta
Es la ecuación que ya habíamos definido en la introducción a este tema


Ecuación paramétrica 
Partimos de la ecuación vectorial y después de desarrollarla , esto quiere decir que multiplicamos al escalar por cada componente y después sumamos componente por componente llegamos a lo siguiente:  

Ecuación simétrica
También llamadas ecuaciones continuas de la recta, se las obtiene después de despejar e igualar el escalar.

Paralelismo de rectas

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos , es decir son linealmente dependientes ó si sus pendientes son iguales.

Perpendicularidad entre rectas

Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores son perpendiculares entre si, y tambien cumplen que la pendiente de la una es el inverso negativo de la pendiente de la otra






Angulo entre dos rectas
El angulo que forman dos rectas que se cortan en un punto, es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.

Dos rectas en el plano forman dos ángulos, uno menor, por ejemplo, , y otro mayor ( o igual ), que seria el suplementario de , .

El ángulo entre dos rectas y cuyos vectores directores son, respectivamente, y , se puede calcular con la siguiente fórmula:
El plano en el espacio

Un plano es un elemento que posee 2 dimensiones y posee un infinito numero de rectas y puntos, se representan con una letra mayúscula ubicada en una de las esquinas.

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores que tienen dirección distinta.
Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser coplanario con y .
Ecuaciones del plano
Ecuación vectorial
Es la ecuación que definimos en la parte superior.
Ecuación paramétrica
Para hallar esta ecuación partimos de la ecuación vectorial, multiplicamos los escalares por cada vector y luego sumamos las respectivas componentes.

Ecuación general

Llamada también ecuación implícita del plano.

Si dos planos P y Q son paralelos en el espacio, sus trazas también lo son. Al cortar estos planos a otro plano cualquiera (T) genera rectas paralelas.
Dos planos son perpendiculares si se determina que una recta en el plano P es perpendicular al plano Q.

Angulo entre dos planos

El angulo entre dos planos es el angulo agudo que forman los vectores normales de dichos planos.



Sea (π,π') el ángulo que forman los planos π y π'. Al elegir los dos vectores característicos, n y n'.Su producto escalar puede ser positivo (forman un ángulo entre sí menor que π/2), negativo (ángulo entre π/2 y π) o nulo (perpendiculares). Con lo cual:



Funciones vectoriales de variable real 

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: F: I →ℝ* , definida como F(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) ) Donde: I ⊆ ℝ ; t pertenece I * es el numero de componentes de F(f) x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Si F(t) toma valores en * = 3 , entonces F(t) = ( f1(t) i , f2(t) j , f3(t) k ) , o también
F(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) Por tanto las ecuaciones paramétricas son:
f1(t) = x(t) f2(t) = y(t) f3(t) = z(t)

Asi, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

r(t) = ( f(t), g(t) ) … … … . plano r(t) = ( f(t) , g(t), h(t) ) … . espacio
DOMINIO (Dom F(t)) 

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:
Si F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t),... fn(t) ) el DF(t)= Df1 ∩ Df2 ∩ Df3 ∩ … … . . Dfn
RANGO O RECORRIDO (Rang F(t)) 

El rango de una función vectorial esta dado por la unión de los rangos de cada una de las funciones componentes, es decir:
Si F(t) = ( f1(t) , f2(t) , f3(t),... fn(t) ) el RF(t)= Rf1 U Rf2 U Rf3 U … … . . Rfn

OPERACIONES

Sean F: I →ℝ* ; G: I →ℝ* h : J → I Donde I , J , pertenece ℝ y pertenece ℝ; se cumple

1. (F + G)(t) = (f1(t) , f2(t) ,... fn(t)) + (g1(t) , g2(t) ,... gn(t)) = (f1(t) + g1(t) , f2(t) + g2(t) , ... fn(t) + gn(t)) , t pertenece Dom F ∩ Dom G

2. ( F)(t) = (f1(t) , f2(t) ,... fn(t)) = (f1(t) , f2(t) ,... fn(t)) , t pertenece al DomF y pertenece ℝ

3. ( F/G) (t) = (F(t) / G(t)) = f1(t) g1(t) + f2(t) g(t) + ... fn(t) gn(t) , t pertenece al DomF

4. F(t) = (F/F) = (f1(t))2 +(f2(t))2+.... (fn(t))2) , t pertenece al DomF

5. si * = 3 ; t pertenece al DomF ∩ Dom G
I i j k I F x G = I f1(t) f2(t) f3(t) I I g1(t) g2(t) g3(t) I

6. (F o h)(t) = F(h(t)) = (f1 (h(t)) , f2(h(t)) , ... fn(h(t))) , t pertenece al DomF ∩ Dom h
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL 

Dada una función vectorial F(t) = (x(t) , y(t) , z(t)) lim F(t) = ( lim x(t) , lim y(t) , lim z(t) ) = ℓ t→a t→a t→a t→a

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F(t) se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. 

CONTINUIDAD 

Sea F: I →ℝ* y sea to pertenece I , se dice que F es continua en to ssi: - Existe el vector F(to) - Existe el lim F(t) - lim F(t) = F(to) t→to
Observacion:
Se dice que F(t) es continua en to , si cada una de las componentes de F(t) es continua
lim F(t) = F(to) entonces lim fi(t) = fi(to) t→to t→to 

Propiedades
Sean F y G funciones vectoriales de variable real continuas en to, entonces
F(t) + G(t) es continua en to
F(t) es continua en to
F(t) / G(t) es continua en to
si *=3 , entonces (F * G)(t) es continua en to
Si h es una funcion real continua en to y F(t) es continua en h(to) entonces F o h (t) es continua en to.
Observaciones:
- Si no existe lim F(t) , se dice que F(t) es discontinua inevitable t→to - Si existe lim F(t) , pero lim F(t) no es igual F(to) , entonces F(t) es discontinua t→to t→to evitable y se debe redefinir .
Derivación de funciones vectoriales de variable real
Sea la función vectorial F(t) entonces diremos que F′ (t) es la derivada de dicha función y se define mediante:

F ′ (t) = lim ( F(t) +Δt − F(t) ) / Δt

Δt→0

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.Cuando el límite existe para t = a se dice que F(t) es derivable en t = a.

Teorema. Sea F(t) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f1, f2 y f3 son todas derivables para algún valor de t, entonces F(t) es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

F ′(t) = (f 1′ (t) ,f2 ′ (t) ,f3 ′(t))

Propiedades
Sean F y G dos funciones vectoriales de I →ℝ* y g fun cion real I → J; se cumple
1. ( F + β G)(t) = F ′(t) + β G ′(t) 2. ( F/G) ′ (t) = (F(t) / G(t)) = (F ′(t) / G (t)) + (F (t) / G ′(t))
3. si * = 3 ( F x G) ′ (t) = (F ′(t) x G (t)) + (F (t) x G ′(t)) 4. (F o g) ′(t) = F(g(t)) g′ (t)

Integración de funciones vectoriales de variable real

INTEGRAL INDEFINIDA

Si F(t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se define como

∫ f (t) dt = F(t) + c

Donde c es un vector constante arbitrario.


INTEGRAL DEFINIDA

Para la función vectorial f (t) , se define la integral de la misma

b               b                                      b               b                  b
∫ f (t) dt = ∫ (f 1(t) ,f2(t) ,f3(t)) dt = ∫ f 1(t) dt , ∫ f2(t) dt , ... ∫ fn(t) dt
a               a                                     a                a                   a
 

Para que exista ∫ f (t) dt es necesario que exista cada una de las integrales 

∫ fi (t) dt ;
i = 1, 2, ... n                                                                                           
Propiedades

    b                                          b              b
1. ∫ ( F (t) + β G (t) ) dt = ∫ F (t) + β ∫ G (t) 

    a                                         a               a 

     b                                 b 

2. ∫ ( c / F(t)) dt = (c(t) / ∫ F(t) dt) ) 

    a                                 a 

       b                 b 

3. I ∫ F(t) dt I = ∫ I F (t)I dt 

       a                 a 

4. Si G es una función continua para cada t que pertenece [a,b] y si F t F (t) = ∫ G(u) du , entonces F′ (t) = G(t)

                                                                                     b
5. Si F(t) tiene derivada continua en [a,b] , entonces ∫ F(t) dt = F(t) - F(a)
                                                                                    a

Aplicaciones Geométricas 

La funcion F: I →ℝ* , funcion vectorial tiene como grafica una curva C en el espacio.


Dado : r(t) = f1(t)i + f2 j + f3 k

T = r’ (t) Vector tangente


r" (t) = a(t)


B = r’ (t) x r"(t) Vector Binormal


N = B x T Vector Normal Principal
Plano Osculador 

Vector normal B (B1 , B2 , B3)

ro = (Xo, Yo, Zo)

(r - ro) . B = 0 Ec. Vectorial

De aquí remplazando los datos que nos proporciones podriamos sacar los diferentes tipos de ecuaciones.
Plano Normal


Vector normal T (T1 , T2 , T3)

ro = (Xo, Yo, Zo)

(r - ro) . T = 0 Ec. Vectorial 

Plano Rectificante

Vector normal N (N1 , N2 , N3)

ro = (Xo, Yo, Zo)

(r - ro) . N = 0 Ec. Vectorial 

Recta Tangente 

ro = (Xo, Yo, Zo)

Vector Director T = (T1 , T2 , T3)

(r - ro) = t r Ec. Vectorial

Recta Binormal

ro = (Xo, Yo, Zo)

Vector Director B = (B1 , B2 , B3)

(r - ro) = t r Ec. Vectorial 

Recta Normal Principal

Vector Director N = (N1 , N2 , N3)

(r - ro) = t r Ec. Vectorial 

Vector Tangente Unitario

Es el vector Tangente (T) divido para su modulo

Vector Normal Principal Unitario 

Es el vector Normal (N)dividido para su modulo

Vector Binormal Unitario

Es el vector Binormal (B)dividido para su modulo